Pernyataan yang benar untuk grafik fungsi [tex]\displaystyle{f(x)=\frac{1}{3}x^3-2x^2-12x+27}[/tex] adalah (B) (1) dan (3) SAJA yang benar .
PEMBAHASAN
Turunan atau Diferensial merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input. Salah satu fungsi dari turunan adalah menentukan nilai minimum/maksimum dari suatu fungsi. Dimana suatu fungsi akan memiliki nilai minimum/maksimum pada saat :
f'(x) = 0
dengan :
f'(x) = turunan pertama fungsi.
Dari f'(x) = 0 kita akan memperoleh titik titik stasioner, misal x = a. Untuk menentukan apakah titik tersebut menyebabkan fungsi bernilai minimum atau maksimum dapat kita gunakan uji turunan kedua.
1. Jika f''(a) > 0 maka x = a menyebabkan fungsi bernilai minimum.
2. Jika f''(a) < 0 maka x = a menyebabkan fungsi bernilai maksimum.
3. Jika f''(a) = 0 maka x = a merupakan titik belok fungsi.
Salah satu fungsi dari turunan yang lain adalah menentukan interval fungsi naik atau fungsi turun, dimana :
1. Fungsi akan naik pada saat f'(x) > 0.
2. Fungsi akan turun pada saat f'(x) < 0.
.
DIKETAHUI
[tex]\displaystyle{f(x)=\frac{1}{3}x^3-2x^2-12x+27}[/tex]
.
DITANYA
Tentukan pernyataan yang benar :
(1) Mencapai maks relatif di x = -2 dan min relatif di x = 6.
(2) Titik belok [tex]\displaystyle{\left ( 2,-\frac{7}{3} \right )}[/tex]
(3) Turun untuk -2 < x ≤ 3.
(4) Naik untuk x > 4.
.
PENYELESAIAN
> Mencari titik ekstrim fungsi.
[tex]\displaystyle{f(x)=\frac{1}{3}x^3-2x^2-12x+27}[/tex]
[tex]f'(x)=x^2-4x-12[/tex]
.
Cari titik stasioner.
[tex]f'(x)=0[/tex]
[tex]x^2-4x-12=0[/tex]
[tex](x+2)(x-6)=0[/tex]
[tex]x=-2~atau~x=6[/tex]
.
Cek uji turunan kedua.
[tex]f'(x)=x^2-4x-12[/tex]
[tex]f''(x)=2x-4[/tex]
Substitusi titik stasioner ke f''(x) :
[tex]f''(-2)=2(-2)-4=-8~(< 0)[/tex]
[tex]f''(6)=2(6)-4=8~(> 0)[/tex]
Dari uji turunan kedua dapat disimpulkan :
x = -2 menyebabkan fungsi mencapai nilai maksimum relatif.
x = 6 menyebabkan fungsi mencapai nilai minimum relatif.
Fungsi tidak memiliki titik belok.
⇒ Pernyataan (1) benar, pernyataan (2) salah.
.
> Mencari interval fungsi naik dan turun.
Interval naik :
[tex]f(x)> 0[/tex]
[tex]x^2-4x-12> 0[/tex]
[tex](x+2)(x-6)> 0[/tex]
Cek menggunakan uji titik.
[tex]++o--o++[/tex]
[tex].~~-2~~~~~6[/tex]
Karena tanda pertidaksamaan > 0, pilih daerah bertanda ++, yaitu x < -2 atau x > 6.
.
Interval turun :
[tex]f'(x)< 0[/tex]
[tex](x+2)(x-6)< 0[/tex]
Dari uji titik di atas pilih daerah bertanda --, yaitu -2 < x < 6.
Dapat disimpulkan :
Fungsi naik pada interval x < -2 atau x > 6.
Fungsi turun pada interval -2 < x < 6.
⇒ Pernyataan (3) benar, pernyataan (4) salah.
.
KESIMPULAN
Pernyataan yang benar untuk grafik fungsi [tex]\displaystyle{f(x)=\frac{1}{3}x^3-2x^2-12x+27}[/tex] (B) (1) dan (3) SAJA yang benar .
.
PELAJARI LEBIH LANJUT
- Mencari nilai maksimum fungsi : https://brainly.co.id/tugas/37710745
- Mencari ketinggian maksimum bola : https://brainly.co.id/tugas/34988881
- Interval fungsi naik/turum : https://brainly.co.id/tugas/27959022
.
DETAIL JAWABAN
Kelas : 11
Mapel: Matematika
Bab : Turunan
Kode Kategorisasi: 11.2.9
Kata Kunci : turunan, maksimum, uji turunan kedua, titik stasioner.
[answer.2.content]
